En nuestro artículo sobre caracoles diestros y zurdos vimos que la concha del nautilo no sigue la famosa proporción áurea. Pero eso no significa que las conchas no escondan matemáticas. Al contrario: pocas estructuras de la naturaleza se describen tan bien con unas pocas fórmulas.
La razón es sencilla. Un molusco vive dentro de su concha y nunca puede reformarla. Solo puede ampliarla, añadiendo material por el borde de la abertura. Ese modo de crecer, siempre por un extremo y sin tocar lo anterior, impone reglas geométricas muy estrictas. Y de esas reglas sale la extraordinaria variedad de formas que vemos en caracoles, almejas y nautilos.
La espiral que no cambia de forma
La pieza clave es la espiral logarítmica. Su propiedad fundamental es que, al crecer, no cambia de forma: cada vuelta es una copia ampliada de la anterior. Si se amplía una fotografía de su centro, se obtiene la misma espiral.
Se la llama también espiral equiangular, porque cualquier línea que salga de su centro la corta siempre con el mismo ángulo. Esa constancia es lo que permite al molusco crecer sin que su concha se deforme. El animal de hoy cabe en su casa exactamente igual que cabía de joven, solo que a mayor escala.
El matemático suizo Jacob Bernoulli quedó tan fascinado con ella en el siglo XVII que la llamó spira mirabilis, la «espiral maravillosa». Pidió que la grabaran en su lápida con la inscripción Eadem mutata resurgo: «aunque cambiada, resurjo igual». El cantero, por cierto, grabó una espiral equivocada, de las que no crecen así.
Espiral logarítmica: crece sin cambiar de forma; cada vuelta es una copia ampliada de la anterior.
Espiral equiangular: otro nombre de la misma curva; corta cualquier radio con el mismo ángulo.
Crecimiento por el borde: el molusco solo añade material en la abertura, nunca modifica lo ya construido.
Primer estudio: el reverendo británico Henry Moseley la identificó en las conchas en 1838.
Para los amantes de las fórmulas: la espiral logarítmica
r(θ) = a · ebθ
r es la distancia al centro y θ, el ángulo girado. El número a fija el tamaño inicial y b, lo deprisa que se abre la espiral. En cada vuelta completa, cuando θ aumenta 2π, la distancia al centro se multiplica siempre por el mismo número:
r(θ + 2π) / r(θ) = e2πb
Ese factor constante es el secreto de que la concha crezca sin cambiar de forma. El ángulo α con el que la curva corta cualquier radio tampoco cambia nunca: cot α = b. Para la espiral áurea, el factor por vuelta sería de 1,6184 ≈ 6,85.
De Moseley a D’Arcy Thompson
El primero en demostrar que las conchas siguen espirales logarítmicas fue el matemático y clérigo británico Henry Moseley. En 1838 midió con precisión conchas de caracoles y nautilos y comprobó que sus vueltas crecían a un ritmo constante.
Casi ochenta años después, el biólogo escocés D’Arcy Thompson dedicó a las conchas uno de los capítulos más célebres de su libro Sobre el crecimiento y la forma, publicado en 1917. Thompson defendía que muchas formas biológicas se explican por leyes físicas y matemáticas, no solo por la evolución. La concha era su ejemplo perfecto: una forma que se construye sola a partir de una regla de crecimiento muy simple.
Tres números para todas las conchas
En 1966, el paleontólogo estadounidense David Raup dio un paso más. Se preguntó si se podían describir todas las conchas enrolladas con unos pocos números. Y encontró que bastaban esencialmente tres, además de la forma de la abertura.
W, expansión de la vuelta: cuánto crece la abertura en cada vuelta. Un valor bajo da conchas de muchas vueltas estrechas; uno alto, conchas que se abren enseguida, como una oreja de mar o una almeja.
D, distancia al eje: cuánto se separa la abertura del eje de enrollamiento. Si es cero, las vueltas se tocan; si es grande, la concha queda abierta, como un sacacorchos.
T, traslación: cuánto se desplaza cada vuelta a lo largo del eje. Si es cero, la concha es plana, como la de un nautilo o un planorbis; si es grande, forma una torre, como una turritela.
S, forma de la abertura: la figura que se hace girar, circular, ovalada o alargada.
Con esos números, Raup pudo dibujar en uno de los primeros ordenadores conchas que nunca habían existido. Y los organizó en un cubo imaginario, en el que cada punto representa una concha posible. Es lo que hoy se llama un morfoespacio teórico.
Para los amantes de las fórmulas: la concha de Raup
El factor de expansión W es precisamente el que multiplica la espiral en cada vuelta:
W = e2πb
Simplificando el modelo, la posición de la abertura tras girar un ángulo θ se describe con dos ecuaciones: una para la distancia al eje y otra para la altura a lo largo de él.
r(θ) = r0 · Wθ/2π z(θ) = T · r(θ)
Con T = 0 la concha es plana, como un planorbis. Con T grande, se estira en torre. Haciendo girar la forma de la abertura, S, a lo largo de esa trayectoria, el ordenador dibuja la concha completa.
Las conchas que la evolución nunca construyó
El hallazgo más interesante de Raup fue lo que no encontró. Al situar las conchas reales en su cubo, comprobó que solo ocupaban unas regiones concretas. Los ammonites y el nautilo se agrupaban en la zona de conchas planas. Los caracoles, en la de conchas desplazadas a lo largo del eje. Las almejas y los braquiópodos, en la de expansión muy rápida.
Grandes zonas del cubo estaban vacías. Son formas perfectamente posibles desde el punto de vista geométrico que ningún animal ha construido nunca. Algunas serían poco prácticas, por ejemplo conchas de vueltas separadas y demasiado frágiles. Otras, simplemente, nunca surgieron. Ese contraste entre lo posible y lo real convirtió el trabajo de Raup en un clásico que todavía se enseña en las facultades de biología.
¿Por qué los caracoles eligen un lado? El parámetro T explica lo que vimos en nuestro artículo anterior. Si la traslación es cero, la concha es plana y no hay derecha ni izquierda. En cuanto cada vuelta se desplaza a lo largo del eje, la espiral se convierte en una hélice, y una hélice solo puede girar hacia un lado o hacia el otro.
Espinas que brotan de la física
La espiral explica la forma general, pero no los adornos. ¿De dónde salen las costillas, los pliegues o las espectaculares espinas de un múrice? En 2013, Régis Chirat, Derek Moulton y Alain Goriely propusieron en la revista PNAS una respuesta mecánica.
El manto, el tejido blando que fabrica la concha, crece a su propio ritmo. El borde de la concha, ya endurecido, no cede. Cuando el manto crece más deprisa que el borde al que está pegado, se ve obligado a plegarse, igual que una alfombra que se arruga al empujarla contra la pared. Esos pliegues quedan fijados en el carbonato cálcico y, repetidos vuelta tras vuelta, forman las espinas.
El modelo explica además una coincidencia que intrigaba a los paleontólogos. Grupos muy alejados, como los múrices actuales y algunos ammonites extinguidos, desarrollaron espinas muy parecidas de forma independiente. Según los autores, no hace falta buscar una causa genética común: basta con que las leyes de la mecánica actúen igual sobre tejidos parecidos.
El dibujo que se escribe línea a línea
Los dibujos de las conchas esconden otra sorpresa matemática. El cono textil, Conus textile, un caracol marino venenoso del Indo-Pacífico, luce un patrón de triángulos blancos de todos los tamaños sobre fondo pardo. Ese dibujo se parece asombrosamente al que genera la «regla 30», un sencillísimo programa informático estudiado por el matemático Stephen Wolfram.
La regla 30 es un autómata celular: una fila de casillas que se colorean según el color de sus vecinas en la fila anterior. Repitiendo esa regla fila tras fila salen triángulos muy parecidos a los del cono textil.
Para los amantes de las fórmulas: la regla 30
Si i es la posición de una casilla y t la fila, con 1 para «encendida» y 0 para «apagada», toda la regla cabe en una línea:
xit+1 = xi−1t ⊕ ( xit ∨ xi+1t )
El símbolo ∨ es un «o» lógico: vale 1 si al menos una de las dos casillas está encendida. El símbolo ⊕ es un «o exclusivo»: vale 1 solo si los dos valores son distintos. En palabras: la casilla nueva se enciende si la vecina izquierda es distinta de lo que forman ella misma y su vecina derecha juntas.
El parecido tiene sentido. El caracol pinta su concha solo en el borde, a medida que crece. Las células del manto producen o no pigmento según lo que hacen sus vecinas. Cada nueva franja de concha es una «fila» del programa, y la concha entera es el registro de todas las filas a lo largo de la vida del animal.
El biólogo alemán Hans Meinhardt reprodujo con ordenador muchísimos de estos dibujos en su libro The Algorithmic Beauty of Sea Shells, de 1995. Lo hizo con modelos de reacción-difusión: sustancias que se activan y se inhiben entre sí mientras se extienden por el tejido. Con unas pocas ecuaciones obtuvo rayas, manchas, zigzags y triángulos casi idénticos a los de conchas reales.
Para los amantes de las fórmulas: activador e inhibidor
Los modelos de Meinhardt parten de dos sustancias repartidas a lo largo del borde de la concha: un activador, a, que estimula la producción de pigmento y se refuerza a sí mismo, y un inhibidor, h, que lo frena. En una de sus formas más sencillas:
∂a/∂t = s · a2/h − ra · a + Da · ∂2a/∂x2
∂h/∂t = s · a2 − rh · h + Dh · ∂2h/∂x2
Los términos con r representan la degradación de cada sustancia, y los términos con D, su difusión por el tejido. La clave es que el inhibidor se difunda mucho más deprisa que el activador. Así, cada foco de pigmento se alimenta a sí mismo pero impide que aparezcan otros a su alrededor. Cambiando solo estos parámetros salen rayas, manchas o triángulos.
Una concha es una cinta de tiempo. Como el pigmento solo se deposita en el borde en crecimiento, el dibujo de una concha registra, vuelta a vuelta, lo que pasaba en ese borde en cada momento de la vida del animal. Leer una concha es, literalmente, leer su historia.
Matemáticas en el acuario
Todo esto se puede observar sin salir de casa. Un planorbis del acuario muestra una espiral logarítmica casi plana, con el parámetro T cercano a cero. Una melania, Melanoides tuberculata, es una torre alta y estrecha, con mucha traslación y poca expansión. Y un caracol manzana, con su última vuelta enorme, es un ejemplo de expansión rápida.
Tres caracoles comunes, tres rincones distintos del cubo de Raup. Detrás de cada uno hay la misma regla de crecimiento, con los números cambiados. Esa es, quizá, la lección más bonita de las conchas: la diversidad de la naturaleza puede nacer de unas pocas reglas sencillas.
Fuentes:
Raup, D. M. (1966). Geometric analysis of shell coiling: general problems. Journal of Paleontology, 40(5): 1178–1190.
Chirat, R., Moulton, D. E. y Goriely, A. (2013). Mechanical basis of morphogenesis and convergent evolution of spiny seashells. PNAS, 110(15). DOI: 10.1073/pnas.1220443110
Meinhardt, H. (1995). The Algorithmic Beauty of Sea Shells. Springer.
Thompson, D’A. W. (1917). On Growth and Form. Cambridge University Press.
Moseley, H. (1838). On the geometrical forms of turbinated and discoid shells. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 128.
Redacción Mundo Faunista
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